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几何布朗运动（布朗运动、伊藤引理、BS 公式）

实习编辑 • 2023-11-18 08:37:22 • 用户投稿 • 阅读 3

几何布朗运动（布朗运动、伊藤引理、bs公式）

1前文回顾

本系列的前篇从布朗运动出发，介绍了布朗运动的性质并解释了为什么使用几何布朗运动来描述股价是被投资界广泛接受的。此外，前文给出了伊藤引理的最基本形式，它是随机分析的基础，为分析衍生品定价提供了坚实的武器。

作为本系列的后篇，本文将从扩展伊藤引理出发，并用它求解几何布朗运动，然后推导bs微分方程以及bs公式（也称black-scholes-merton公式）。在介绍bs公式时，论述的重点会放在衍生品定价中的一个核心方法，即风险中性定价理论。此外，我们会花一定的笔墨来解释bs公式中的两个核心要素（即n(d_1)和n(d_2)的业务含义），明白它们对理解bs公式至关重要。

阅读提示：下文中将涉及大量数学公式，对阅读体验造成影响，我们表示歉意。我们当然不是在写学术论文，但是必要的数学推导对于理解期权定价模型至关重要。如果你对阅读大数学实在不感兴趣，可以跳过第二、三两节，从第四节开始看。

几何布朗运动（布朗运动、伊藤引理、BS 公式）

在那之前，先来点轻松的，看看black，scholes和merton三位大咖长什么样子。scholes和merton因在衍生品定价方面的杰出工作于1997年获得诺贝尔经济学奖。black没有在列的原因是他不幸地于1995年去世，而诺贝尔奖不追授给颁奖时已故6个月以上的学者。

2伊藤引理的一般形式

在前篇中，我们介绍了带有漂移（drift）和扩散（diffusion）的布朗运动有如下形式的随机微分方程。在这里，μ和σ被假定为常数。

更一般的，漂移和扩散的参数均可以是随机过程x(t)以及时间t的函数。假设我们令a(x(t),t)和b(x(t),t)表示漂移和扩散参数（则在上面这个例子中，a(x(t),t)=μ而b(x(t),t)=σ）。我们称满足如下随机微分方程（stochasticdifferentialequation，或sde）的随机过程为伊藤漂移扩散过程（itōdrift-diffusionprocess，下称伊藤过程）：

令f(x(t),t)为x(t)的二阶连续可导函数（并对t一阶可导），由伊藤引理可知（省略自变量以简化表达）：

将dx=a(x(t),t)dt+b(x(t),t)db带入上式，并且略去所有比dt更高阶的小量，最终可以得到伊藤引理的一般形式：

由f的sde可知，作为x和t的函数，f本身也是一个伊藤过程。更重要的是，伊藤引理说明，df表达式右侧的布朗运动db恰恰正是dx表达式中的那个布朗运动。换句话说，在f和x的随机性由同一个布朗运动决定，而非两个独立的布朗运动。这一点在下文中推导bs微分方程时至关重要。

下面我们就利用伊藤引理求解几何布朗运动。

3几何布朗运动求解

对于股票价格s，可以用满足如下sde的几何布朗运动来描述。

上式中μ是股票的期望年收益率，σ是股票年收益率的标准差。显然，这是一个伊藤过程（a=μs，b=σs）。为了求解s，令f=lns（s的自然对数）并对df使用伊藤引理（注：为了保持符号和前篇的一致性，我们用s而非x代表股票价格的随机过程）得到lns的sde：

这个式子说明，lns是一个带漂移的布朗运动，它的漂移率为μ–0.5σ^2，波动率为σ。由布朗运动的性质可知，在任何时间t，lns的变化符合正态分布：

如果一个随机变量的对数满足正态分布，我们说这个随机变量本身满足对数正态分布（lognormaldistribution）。因此，当我们用几何布朗运动来描述股价波动时，得到的股价满足对数正态分布。

通过对lns的sde两边积分，再对等式两边取指数，便可很容易的写出股价随时间变化的解析式：

上式乍一看好像有悖于我们的直觉。我们已知股票的年收益率期望为μ。但在上式中，抛开b(t)带来的随机性不谈而仅看时间t的系数，股价的增长速率是μ–0.5σ^2而不是μ。这意味着什么呢？数值μ–0.5σ^2又是否是什么别的收益率呢？

正确答案是，μ–0.5σ^2恰恰是股票每年的连续复利期望收益率。利用股价s的对数正态特性可以说明这一点。假设x代表股票每年的连续复利收益率。因此有s(t)=s(0)e^(xt)，或x=(1/t)×(lns(t)-lns(0))。由上面的分析可知，lns(t)–lns(0)符合均值为(μ–0.5σ^2)t、方差为(σ^2)t的正态分布。因此每年的连续复利收益率x也是正态分布并且满足：

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